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1012 como número Eriam para distintas bases

abril 6, 2020

En una entrada anterior comentaba alguna curiosidad sobre los posibles números Lychrel en diferentes bases numéricas. Buscando alguna variación, como restar los números al revés en vez de sumar, me encontré con la web de Michael P. Greaney en la que además llamaba a estos números Eriam numbers. Para base decimal, encontró que el más pequeño de estos números es el 1012. ¿Qué ocurre si buscamos estos Eriam numbers en otras bases? Lo que encontramos es bastante curioso. Resulta ser que el número 1012 escrito en la propia base es el menor número de Eriam para varias de ellas. En concreto estas (donde escribo después de los dos puntos el número de Eriam en decimal y luego escrito en la propia base que resulta ser 1012):

base 3: 32(1012)
base 6: 224(1012)
base 7: 352(1012)
base 10: 1012
base 12: 1742(1012)
base 15: 3392(1012)
base 18: 5852(1012)
base 22: 10672(1012)
base 28: 21982(1012)
base 31: 29824(1012)
base 36: 46694(1012)
base 46: 97384(1012)
base 52: 140662(1012)
base 58: 195172(1012)
base 60: 216062(1012)
base 63: 250112(1012)

Para el resto de bases (hasta 64 que calculé) y sin contar las bases que son potencias de 2 (las mencionaré más tarde) resulta que hay algún número menor que 1012 que resulta ser número de Eriam. También ocurre que 1012 es a su vez número de Eriam, aunque no el menor.

¿Qué ocurre para bases potencias de 2? Distingo dos casos:

  • base 2 y base 4: después de probar muchos números, no encuentro candidatos a números de Eriam
  • resto de bases potencias de 2: encuentra algún número de Eriam muy pequeño pero casualmente 1012 escrito en esas bases no lo son. Además tienen una estructura similar: encuentran un palíndromo con la siguente expresión: (base/2)(base/2-1)(base/2-1)(base/2), por ejemplo para base 8 el palíndromo al que llega es 4334, para base 16 es 8778, para base 32 es GFFG y para base 64 es WVVW.

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