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Números de Lychrel: buscando sus posibles mínimos en distintas bases

diciembre 2, 2019

Echando un ojeada sobre los números de Lychrel en Wikipedia (un número de Lychrel es un número natural que no puede formar un palíndromo a través del proceso iterativo repetitivo de invertir sus dígitos y sumar los números resultantes) nos aparece una tabla con los posibles números de este tipo más pequeños para ciertas bases escritos en esas bases. Si observamos los últimos números que están escritos, son estos:

26 op (649)
27 pq (701)
28 qr (755)
29 rs (811)
30 st (869)

Parece evidente que hay una secuencia clara de letras (que en realidad representan números) consecutivas. ¿Se conservará la secuencia en bases posteriores?

Combinando un par de programas sobre cambios de base (este y este), buscamos posibles números de Lychrel. El programa en python es este. El posible número de Lychrel es aquel en el que el programa no es capaz de continuar porque alcanza demasiadas iteraciones sin encontrar solución.

Lo encontrado es que la secuencia continúa para las bases 31, 32 y 33:

base 31: 929(tu)
base 32: 991(uv)
base 33: 1055(vw)

pero no para la 34 y 35:

base 34: 1799(liv)
base 35: 1922(ljw)

para regresar con las bases 36, 37, 38, 39, 40 y 41:

base 36: 1259(yz)
base 37: 1331(zA)
base 38: 1405(AB)
base 39: 1481(BC)
base 40: 1559(CD)
base 41: 1639(DE)

(en la que hemos representado el número mayor que z el A).

La secuencia se pierde de nuevo hasta la 46-49 y la 53-57:

base 42: 1595(BF)

base 43: 1762(EG)

base 44: 1891(GH)

base 45: 1934(GI)

base 46: 2069(IJ)
base 47: 2161(JK)
base 48: 2255(KL)
base 49: 2351(LM)

base 50: 2299(JN)

base 51: 2549(NO)

base 52: 4157(1rN)

base 53: 2755(PQ)
base 54: 2861(QR)
base 55: 2969(RS)
base 56: 3079(ST)
base 57: 3191(TU)

base 58: 3247(TV)

base 59: 3361(UW)

base 60: 3569(WX)

Si se quieren probar más secuencias, en este enlace están los posibles números de Lychrel más pequeños para cada base hasta base 20000. Están todos en base decimal, no habría más que cambiarlos de base.

NOTA: el programa subido llega hasta base 50. Puede llegar hasta base 93 sin más que aumentar el código:

def baseN(num, base, numerals=”0123456789abcdefghijklmnopqrstuvwxyzABCDEFGHIJKLMNO”):

añadiendo los términos definidos en la función SY2VA. Ambas pueden aumentarse añadiendo otros caracteres diferentes no usados según las correspondientes bases.

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